Bewegung eines Körpers unter Einwirkung einer Zentralkraft (6)

Auch in diesem zweiten, gleichlangen Zeitabschnitt hat der Fahrstrahl eine Dreiecksfläche (SBC) überstrichen. Sie ist im folgenden Arbeitsblatt hellblau markiert.

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Du hast sicher auf der letzten Seite erkannt, dass der neue Bahnpunkt C immer auf einer Parallelen durch c zur Richtung der Einwirkung in B, also zur Verbindung von B mit dem Zentrum S, liegt.

Bestätige diese Beobachtung in dieser Zeichnung nochmals und begründe damit, dass der Flächeninhalt des hellblauen Dreiecks nicht vom Betrag von dv abhängt.

Schiebe die braune Raute zum Schluss über Punkt B, so dass vorläufig wieder keine Einwirkung in B stattfindet und der Körper geradlinig zum Punkt c weiterfliegt.

Jetzt kommt der Clou:

Erinnere dich, wie du zu Beginn das erste Dreieck (SAB) zum flächengleichen Dreieck SBc gemacht hast. Wiederhole dies hier durch Ziehen des lila Kreises.

Und jetzt zeige, wie durch Ziehen der braunen Raute dieses „Hilfsdreieck“ SBc (das nur ohne Einwirkung in B wirklich überstrichen wird) in jedes mögliche Dreieck SBC wiederum flächengleich verwandelt werden kann.

Also ist die Fläche SBC, die der Fahrstrahl während des zweiten Zeittakts überstreicht, immer gleich groß wie die während des ersten, gleichlangen Zeittakts überstrichene Fläche SAB. Das gilt, egal wie eng unsere Zeittakte aufeinander folgen.

Damit hast du bewiesen:

Zweites Keplersches Gesetz, verallgemeinert durch Isaac Newton:
Isaac Newton, Philosophiae naturalis principia mathematica
Liber Primus, Sectio II. Propositio I. Theorema I.)
Unter der Einwirkung einer Zentralkraft überstreicht der Fahrstrahl in gleichen Zeitspannen gleiche Flächen.


Newton beschreibt den Übergang zur kontinuierlich wirkenden Zentralkraft so:

"Mit ähnlicher Begründung wird, wenn in den Punkten C, D, E etc. erneut eine Kraft zum Zentrum wirkt und dadurch bewirkt, dass der Körper in den einzelnen Zeitabschnitten die Strecken CD, DE, EF etc. durchläuft, sowohl das Dreieck SCD dem Dreieck SBC flächengleich sein, als auch das Dreieck SDE wiederum dem Dreieck SCD und das Dreieck SEF wiederum dem Dreieck SDE.
Also werden in gleichen Zeitspannen gleiche Flächen überstrichen, und wenn man mehrere Flächen zusammennimmt, verhalten sich ihre Inhalte genauso wie die zugehörigen Zeitspannen.

Nun werde die Zahl der Dreiecke immer weiter erhöht, ihre Breite entsprechend vermindert. Der Streckenzug wird zu einer Kurve, und so wirkt nun die Kraft zum Zentrum nicht mehr punktuell, sondern andauernd, und lenkt den Körper von der geradlinigen Bahn ab, und auch in diesem Fall werden in gleichlangen Zeitspannen gleiche Flächen überstrichen werden, und die in beliebigen Zeitspannen überstrichenen Flächen werden diesen Zeitspannen proportional sein.
Q.E.D."

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Joachim Hoffmüller, Erstellt mit GeoGebra